Flytta medelvärden Flytta medelvärden Med vanliga dataset är medelvärdet ofta det första och en av de mest användbara, sammanfattande statistiken att beräkna. När data är i form av en tidsserie är seriemärket en användbar åtgärd, men återspeglar inte dataens dynamiska natur. Medelvärden beräknade över korta perioder, antingen före den aktuella perioden eller centrerad under den aktuella perioden, är ofta mer användbara. Eftersom sådana medelvärden varierar eller flyttas, då den aktuella perioden går från tiden t 2, t 3. etc. är de kända som rörliga medelvärden (Mas). Ett enkelt glidande medelvärde är (vanligtvis) det obegripade medlet av k tidigare värden. Ett exponentiellt vägt rörligt medelvärde är väsentligen detsamma som ett enkelt rörligt medelvärde, men med bidrag till medelvärdet viktat av deras närhet till den aktuella tiden. Eftersom det inte finns en, men en hel serie glidande medelvärden för en given serie, kan satsen Mas själva plottas på diagram som analyseras som en serie och används vid modellering och prognoser. En rad modeller kan konstrueras med hjälp av glidande medelvärden, och dessa är kända som MA-modeller. Om sådana modeller kombineras med autoregressiva (AR) modeller är de resulterande kompositmodellerna kända som ARMA - eller ARIMA-modeller (jag är för integrerad). Enkla glidande medelvärden Eftersom en tidsserie kan betraktas som en uppsättning värden, kan t 1,2,3,4, n genomsnittet av dessa värden beräknas. Om vi antar att n är ganska stor, och vi väljer ett heltal k som är mycket mindre än n. vi kan beräkna en uppsättning blockmedelvärden eller enkla rörliga medelvärden (i ordning k): Varje mätning representerar genomsnittet av datavärdena över ett intervall av k-observationer. Observera att den första möjliga MA i ordningen k gt0 är den för t k. Mer generellt kan vi släppa det extra abonnemanget i ovanstående uttryck och skriva: Detta säger att det uppskattade medelvärdet vid tiden t är det enkla genomsnittet av det observerade värdet vid tiden t och de föregående k -1-stegen. Om vikter appliceras som minskar bidraget från observationer som är längre bort i tiden, sägs det glidande medlet vara exponentiellt jämna. Flytta medelvärden används ofta som en form av prognoser, varigenom det uppskattade värdet för en serie vid tiden t 1, S t1. tas som MA för perioden fram till och med tiden t. t. ex. dagens uppskattning baseras på ett genomsnitt av tidigare registrerade värden fram till och med gårdagens (för dagliga data). Enkla glidande medelvärden kan ses som en form av utjämning. I det nedan angivna exemplet har luftföroreningens dataset som visas i introduktionen till detta ämne ökat med en 7-dagars glidande medelvärde (MA) - linje, som visas här i rött. Såsom kan ses, släpper MA-linjen ut topparna och trågarna i data och kan vara till stor hjälp när det gäller att identifiera trender. Standarden framåtberäkningsformeln innebär att de första k -1 datapunkterna inte har något MA-värde, men därefter sträcker sig beräkningarna till den slutliga datapunkten i serien. PM10 dagliga medelvärden, Greenwich källa: London Air Quality Network, londonair. org. uk En anledning till att beräkna enkla glidande medelvärden på det sätt som beskrivs är att det gör det möjligt att beräkna värden för alla tidsluckor från tid tk fram till idag, och När en ny mätning erhålls för tid t 1 kan MA för tid t 1 läggas till den redan beräknade uppsättningen. Detta ger ett enkelt förfarande för dynamiska dataset. Det finns emellertid vissa problem med detta tillvägagångssätt. Det är rimligt att hävda att medelvärdet under de senaste 3 perioderna skulle vara placerat vid tiden t -1, inte tiden t. och för en MA över ett jämnt antal perioder kanske det borde ligga mitt i punkten mellan två tidsintervaller. En lösning på denna fråga är att använda centrerade MA-beräkningar, där MA vid tid t är medelvärdet av en symmetrisk uppsättning värden runt t. Trots sina uppenbara meriter används inte denna metod generellt eftersom det krävs att data är tillgängliga för framtida händelser, vilket kanske inte är fallet. I fall där analysen helt och hållet består av en befintlig serie, kan användningen av centrerad Mas vara att föredra. Enkla glidande medelvärden kan betraktas som en form av utjämning, avlägsna några högfrekventa komponenter i en tidsserie och markera (men inte ta bort) trender på ett sätt som liknar den allmänna uppfattningen av digital filtrering. I själva verket är glidmedelvärden en form av linjärt filter. Det är möjligt att tillämpa en glidande medelberäkning till en serie som redan har slätts, dvs utjämning eller filtrering av en redan slätad serie. Till exempel, med ett glidande medelvärde av ordning 2 kan vi betrakta det som beräknat med vikter, så MA vid x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. På samma sätt kan MA vid x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Om vi Applicera en andra nivå av utjämning eller filtrering, vi har 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 dvs 2-stegs filtrering process (eller convolution) har producerat ett variabelt viktat symmetriskt glidande medelvärde, med vikter. Flera omvälvningar kan producera ganska komplexa viktade glidmedel, av vilka vissa har visat sig vara speciellt användbara inom specialiserade områden, t. ex. i livförsäkringsberäkningar. Flyttande medelvärden kan användas för att avlägsna periodiska effekter om de beräknas med periodens längd som känd. Exempelvis kan säsongsvariationer ofta avlägsnas (om detta är målet) genom att tillämpa ett symmetriskt 12 månaders glidande medelvärde med alla månader viktade lika mycket, med undantag för det första och det sista som viktas med 12. Detta beror på att det kommer att var 13 månader i den symmetriska modellen (aktuell tid, t. - 6 månader). Totalen är dividerad med 12. Liknande procedurer kan antas för någon väldefinierad periodicitet. Exponentiellt vägda glidmedel (EWMA) Med den enkla glidande medelformeln: alla observationer är lika viktiga. Om vi kallade dessa lika vikter, alfa t. var och en av k-vikterna skulle motsvara 1 k. så summan av vikterna skulle vara 1 och formeln skulle vara: Vi har redan sett att flera tillämpningar av denna process resulterar i vikterna varierande. Med exponentiellt viktade glidmedel är bidraget till medelvärdet från observationer som är mer borttagna i tiden minskat, vilket därmed understryker senare (lokala) händelser. I huvudsak introduceras en utjämningsparameter, 0lt al1l, och formeln revideras till: En symmetrisk version av denna formel skulle vara av formen: Om vikterna i den symmetriska modellen väljas som villkoren för villkoren för binomial expansion, (1212) 2q. de kommer att summera till 1, och när q blir stor kommer den att approximera normalfördelningen. Detta är en form av kärnviktning, med binomial som fungerar som kärnfunktionen. Den tvåstegsvalsning som beskrivs i föregående stycke är just detta arrangemang, med q 1, vilket ger vikterna. Vid exponentiell utjämning är det nödvändigt att använda en uppsättning vikter som summerar till 1 och som reducerar geometriskt i storlek. De använda vikterna är typiskt av formen: För att visa att dessa vikter summerar till 1, överväga utvidgningen av 1 som en serie. Vi kan skriva och expandera uttrycket i parentes med binomialformeln (1- x) p. där x (1-) och p -1, vilket ger: Detta ger då en form av viktat glidande medelvärde av formuläret: Denna summering kan skrivas som en återkommande relation: vilket förenklar beräkningen kraftigt och undviker problemet att viktningsregimen bör strängt vara oändlig för vikterna sammanlagt till 1 (för små värden av alfa. detta är vanligtvis inte fallet). Notationen som används av olika författare varierar. Vissa använder bokstaven S för att indikera att formeln i huvudsak är en jämn variabel och skriv: medan kontrollteori litteraturen ofta använder Z snarare än S för exponentiellt viktade eller jämnda värden (se exempelvis Lucas och Saccucci, 1990, LUC1 , och NIST-webbplatsen för mer detaljer och fungerade exempel). Formlerna som nämns ovan härstammar från Roberts arbete (1959, ROB1), men Hunter (1986, HUN1) använder ett uttryck av formen: vilket kan vara mer lämpligt för användning vid vissa kontrollförfaranden. Med alfa 1 är medelvärdet bara det uppmätta värdet (eller värdet av föregående dataobjekt). Med 0,5 är uppskattningen det enkla glidande medlet för nuvarande och tidigare mätningar. Vid prognosmodeller är värdet S t. används ofta som uppskattnings - eller prognosvärde för nästa tidsperiod, det vill säga som uppskattning för x vid tiden t 1. Således har vi: Detta visar att prognosvärdet vid tid t 1 är en kombination av det tidigare exponentiellt viktade glidande medeltalet plus en komponent som representerar det vägda prediktionsfelet, epsilon. vid tiden t. Antag att en tidsserie ges och en prognos krävs, ett värde för alfa krävs. Detta kan beräknas från befintliga data genom att utvärdera summan av kvadrerade prediktionsfel erhållna med varierande värden av alfa för varje t 2,3. inställning av den första uppskattningen som det första observerade datavärdet, x 1. I kontrollapplikationer är värdet av alfa viktigt eftersom det används vid bestämning av övre och nedre kontrollgränser och påverkar den genomsnittliga körlängden (ARL) som förväntas innan dessa kontrollgränser bryts (under antagandet att tidsserierna representerar en uppsättning slumpmässiga, identiskt distribuerade oberoende variabler med gemensam varians). Under dessa omständigheter är variansen av kontrollstatistiken: (Lucas och Saccucci, 1990): Kontrollgränser fastställs vanligtvis som fasta multiplar av denna asymptotiska varians, t. ex. - 3 gånger standardavvikelsen. Om exempelvis alfa 0,25 och de data som övervakas antas ha en Normalfördelning, N (0,1), när den är i kontroll, kommer kontrollgränserna att vara - 1,134 och processen kommer att nå en eller annan gräns i 500 steg i genomsnitt. Lucas och Saccucci (1990 LUC1) härleda ARL för ett brett spektrum av alfavärden och under olika antaganden med användning av Markov Chain-förfaranden. De tabulerar resultaten, inklusive att tillhandahålla ARL, när medelvärdet av kontrollprocessen har skiftats med en del multipel av standardavvikelsen. Till exempel, med ett 0,5 skift med alfa 0,25 är ARL mindre än 50 tidssteg. Tillvägagångssätten som beskrivs ovan är kända som enda exponentiell utjämning. som förfarandena tillämpas en gång till tidsserierna och sedan analyseras eller kontrollprocesser utförs på den resulterande släta datasetet. Om datasetet innehåller en trend och eller säsongsbetonade komponenter kan två - eller trestegs exponentiell utjämning användas för att undanröja (explicit modellering) dessa effekter (se vidare avsnittet Prognoser nedan och NIST-exemplet). CHA1 Chatfield C (1975) Analysen av Times Series: Theory and Practice. Chapman och Hall, London HUN1 Hunter J S (1986) Det exponentiellt vägda glidande medlet. J av Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Exponentiellt viktade rörliga medelkontrollsystem: Egenskaper och förbättringar. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Kontrolldiagramtester baserat på geometriska rörliga medelvärden. Technometrics, 1, 239-2506.2 Flytta genomsnittsvärden ma 40 elecsales, order 5 41 I den andra kolumnen i denna tabell visas ett glidande medelvärde av order 5, vilket ger en uppskattning av trendcykeln. Det första värdet i denna kolumn är medeltalet av de första fem observationerna (1989-1993) det andra värdet i 5-MA kolumnen är medelvärdet av värdena 1990-1994 och så vidare. Varje värde i 5-MA kolumnen är genomsnittet av observationerna under femårsperioden centrerad på motsvarande år. Det finns inga värden för de två första åren eller de senaste två åren eftersom vi inte har två observationer på vardera sidan. I ovanstående formel innehåller kolumn 5-MA värden på hatt med k2. För att se hur trendcykeluppskattningen ser ut, kartlägger vi den tillsammans med de ursprungliga uppgifterna i Figur 6.7. plot 40 elecsales, huvudsakliga quotResidential electricity salesquot, ylab quotGWhquot. xlab quotYearquot 41 linjer 40 ma 40 elecsales, 5 41. col quotredquot 41 Lägg märke till hur trenden (i rött) är mjukare än originaldata och fångar huvudrörelsen för tidsserierna utan alla mindre svängningar. Den rörliga genomsnittsmetoden tillåter inte uppskattningar av T där t ligger nära seriens ändar. Därför sträcker den röda linjen inte ut mot kanterna på grafen på båda sidor. Senare kommer vi att använda mer sofistikerade metoder för trendcykeluppskattning som tillåter uppskattningar nära slutpunkterna. Ordningen för glidande medel bestämmer jämnheten i trendcykeluppskattningen. I allmänhet betyder en större ordning en mjukare kurva. Följande diagram visar effekten av att ändra ordningen för glidande medelvärdet för elförsäljningsdata för bostäder. Enkla glidande medelvärden som dessa är vanligen oddliga ordningar (t ex 3, 5, 7 osv.) Det här är så att de är symmetriska: I ett glidande medelvärde av ordningen m2k1 finns k tidigare observationer, k senare observationer och mittenobservationen som är genomsnittliga. Men om m var jämn, skulle det inte längre vara symmetrisk. Flytta medelvärden för glidande medelvärden Det är möjligt att använda ett glidande medelvärde till ett glidande medelvärde. En orsak till att göra detta är att skapa en jämn ordning som rör sig i genomsnitt symmetrisk. Till exempel kan vi ta ett glidande medelvärde av order 4 och sedan tillämpa ett annat glidande medelvärde av order 2 till resultaten. I tabell 6.2 har detta gjorts under de första åren av australiensiska kvartalsvisa ölproduktionsdata. beer2 lt - window 40 ausbeer start 1992 41 ma4 lt 40 beer2, order 4. center FALSE 41 ma2x4 lt 40 beer2, order 4. center TRUE 41 Notationen 2times4-MA i den sista kolumnen betyder en 4-MA följt av en 2-MA. Värdena i den sista kolumnen erhålls genom att ta ett glidande medelvärde av ordning 2 av värdena i föregående kolumn. De första två värdena i 4-MA-kolumnen är exempelvis 451,2 (443410420532) 4 och 448,8 (410420532433) 4. Det första värdet i kolumnen 2times4-MA är medelvärdet av dessa två: 450,0 (451.2448.8) 2. När en 2-MA följer ett glidande medelvärde av jämn ordning (till exempel 4) kallas det ett centrerat glidande medelvärde av ordning 4. Detta beror på att resultaten nu är symmetriska. För att se att så är fallet kan vi skriva 2times4-MA enligt följande: starta huvuden från Bigfrac (y y y y) frac (y y y y) Stor förstärkare frac14y frac14y frac14y frac18y. slutet Det är nu ett vägt genomsnitt av observationer, men det är symmetriskt. Andra kombinationer av glidande medelvärden är också möjliga. Till exempel används en 3times3-MA ofta och består av ett glidande medelvärde av order 3 följt av ett annat glidande medelvärde av order 3. I allmänhet bör en jämn order MA följas av en jämn order MA för att göra den symmetrisk. På liknande sätt bör en udda order MA följas av en udda order MA. Beräkning av trendcykeln med säsongsdata Den vanligaste användningen av centrerade glidmedel är att uppskatta trendcykeln från säsongsdata. Tänk på 2times4-MA: hat frac y frac14y frac14y frac14y frac18y. När de tillämpas på kvartalsdata får varje kvartal av året lika stor vikt som de första och sista villkoren gäller för samma kvartal i följande år. Följaktligen blir säsongsvariationen genomsnittlig och de resulterande värdena på hatt t kommer att ha liten eller ingen säsongsvariation kvar. En liknande effekt skulle erhållas med användning av en 2 x 8-MA eller 2 x 12-MA. I allmänhet motsvarar en 2-timmars m-MA ett vägat glidande medelvärde av ordning m1 med alla observationer som tar 1m med undantag för de första och sista termerna som tar vikter 1 (2m). Så om säsongsperioden är jämn och i ordning m, använd en 2-timmars m-MA för att uppskatta trendcykeln. Om säsongsperioden är udda och av ordning m, använd en m-MA för att uppskatta trendcykeln. I synnerhet kan en 2times 12-MA användas för att uppskatta trendcykeln för månadsdata och en 7-MA kan användas för att uppskatta trendcykeln för dagliga data. Andra val för MA-ordern kommer vanligen att resultera i att trendcykeluppskattningar är förorenade av säsongsmässigheten i data. Exempel 6.2 Tillverkning av elektrisk utrustning Figur 6.9 visar en 2times12-MA applicerad på det elektriska apparatets orderindex. Observera att den släta linjen inte visar någon säsongsmässighet är nästan lika med trendcykeln som visas i Figur 6.2, som uppskattades med en mycket mer sofistikerad metod än glidande medelvärden. Något annat val för ordningen för glidande medelvärde (förutom 24, 36 etc.) skulle ha resulterat i en jämn linje som visar vissa säsongsvariationer. plot 40 elecequip, ylab quotNew orders indexquot. kol quotgrayquot, huvudkvotproduktionstillverkning (euroområdet) cv 41 linjer 40 ma 40 elecequip, order 12 41. col quotredquot 41 Vägt glidmedelvärde Kombinationer av glidande medelvärden resulterar i viktade glidmedelvärden. Exempelvis motsvarar 2x4-MA diskuterade ovan en vägd 5-MA med vikter ges av frac, frac, frac, frac, frac. I allmänhet kan en vägd m-MA skrivas som hat t sum k aj y, där k (m-1) 2 och vikterna ges med a, prickar, ak. Det är viktigt att vikterna alla summerar till en och att de är symmetriska så att aj a. Den enkla m-MA är ett speciellt fall där alla vikter är lika med 1m. En stor fördel med vägda glidmedel är att de ger en jämnare uppskattning av trendcykeln. I stället för observationer som går in i och lämnar beräkningen vid full vikt, ökas deras vikter långsamt och sakta sakta minskar vilket resulterar i en jämnare kurva. Vissa specifika uppsättningar vikter används i stor utsträckning. Några av dessa anges i tabell 6.3. Tidsserieanalys: Processen för säsongsjustering Vad är de två huvudfilosofierna för säsongsjustering Vad är ett filter Vad är slutpunktsproblemet Hur bestämmer vi vilket filter som ska användas Vad är en förstärkningsfunktion Vad är en fasskift Vad är Henderson moving average? Hur handlar vi om slutpunktsproblemet Vad är säsongsmässiga glidmedelvärden Varför ändras trendberäkningar Hur mycket data krävs för att få acceptabla säsongrensade estimater AVANCERAT Hur jämför de två säsongsjusteringsfilosofierna WHAT ÄR DE Två huvudsakliga filosoferna för säsongsmässig anpassning De två huvudfilosofierna för säsongjustering är modellbaserad metod och filterbaserad metod. Filterbaserade metoder Den här metoden gäller en uppsättning fasta filter (glidande medelvärden) för att sönderdela tidsserierna i en trend, säsongsbetonad och oregelbunden komponent. Den underliggande uppfattningen är att ekonomiska data består av en rad olika cykler, inklusive konjunkturcykler (trenden), säsongscykler (säsongssituation) och buller (den oregelbundna komponenten). Ett filter tar väsentligen bort eller minskar styrkan hos vissa cykler från ingångsdata. För att producera en säsongrensad serie från data som samlas in varje månad måste händelser som uppstår varje 12, 6, 4, 3, 2,4 och 2 månader tas bort. Dessa motsvarar säsongsfrekvenserna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 cykler per år. De längre säsongscyklerna anses vara en del av trenden och de kortare icke-säsongscyklerna utgör det oregelbundna. Men gränsen mellan trend och oregelbundna cykler kan variera med längden på det filter som används för att få trenden. I ABS säsongsjustering är cykler som bidrar väsentligt till trenden typiskt större än ca 8 månader för månadsserier och fyra kvartaler för kvartalsserier. Trenden, säsongsbetonade och oregelbundna komponenter behöver inte uttryckliga enskilda modeller. Den oregelbundna komponenten definieras som det som återstår efter trenden och säsongens komponenter har tagits bort av filter. Irregulärer visar inte vita brusegenskaper. Filterbaserade metoder är ofta kända som X11-stilmetoder. Dessa inkluderar X11 (utvecklad av US Census Bureau), X11ARIMA (utvecklad av Statistics Canada), X12ARIMA (utvecklad av US Census Bureau), STL, SABL och SEASABS (paketet som används av ABS). Beräkningsskillnader mellan olika metoder i X11-familjen är framför allt resultatet av olika tekniker som används vid tidsseriens ändar. Exempelvis använder vissa metoder asymmetriska filter vid ändarna, medan andra metoder extrapolerar tidsserierna och tillämpar symmetriska filter i den utökade serien. Modellbaserade metoder Detta tillvägagångssätt kräver att trendserier, säsongsmässiga och oregelbundna komponenter i tidsserierna ska modelleras separat. Det förutsätter att den oregelbundna komponenten är 8220white noise8221 - det vill säga alla cykellängder är lika representerade. Irregulärerna har nollvärde och en konstant varians. Den säsongsbetonade komponenten har sitt eget ljudelement. Två brett använda mjukvarupaket som tillämpar modellbaserade metoder är STAMP och SEATSTRAMO (utvecklad av Bank of Spain. Huvudsakliga beräkningsskillnader mellan de olika modellbaserade metoderna beror vanligtvis på modellspecifikationer. I vissa fall modelleras modellerna direkt. kräva att de ursprungliga tidsserierna modelleras först och komponentmodellerna sönderdelas från det. För en jämförelse av de två filosofierna på en mer avancerad nivå, se Hur jämför de två säsongsjusteringsfilosofierna VAD ÄR EN FILTER Filter kan användas för att sönderdelas en tidsserie i en trend, säsongsmässig och oregelbunden komponent. Flyttande medelvärden är en typ av filter som successivt genomsnittar en skiftande tidsperiod för data för att ge en jämn uppskattning av en tidsserie. Denna släta serie kan anses ha härletts genom att köra en ingångsserie genom en process som h filterar ut vissa cykler. Följaktligen kallas ett glidande medel ofta som ett filter. Den grundläggande processen innebär att definiera en uppsättning viktsvikter m 1 m 2 1 som: Anm: En symmetrisk uppsättning vikter har m 1 m 2 och wjw - j Ett filtrerat värde vid tid t kan beräknas med var Y t beskriver värdet av tidsserierna vid tid t. Tänk på följande serie: Med ett enkelt 3-terminssymmetriskt filter (dvs m 1 m 2 1 och alla vikter är 13) erhålls den första termen av den släta serien genom att tillämpa vikterna på de första tre terminerna i originalet Serie: Det andra släta värdet produceras genom att vikterna appliceras till andra, tredje och fjärde termerna i originalserien: VAD ÄR ENDPUNKTSPROBLEM Tänk på serien: Denna serie innehåller 8 termer. Den släta serien som erhållits genom att applicera symmetriskt filter till den ursprungliga data innehåller emellertid bara 6 termer: Det beror på att det inte finns tillräckligt med data vid seriens ändar för att applicera ett symmetriskt filter. Den första termen av den släta serien är ett vägt genomsnitt på tre termer, centrerad på den andra terminen i den ursprungliga serien. Ett viktat medelvärde centrerat på den första terminen i originalserien kan inte erhållas som data innan denna punkt inte är tillgänglig. På samma sätt är det inte möjligt att beräkna ett viktat medelvärde centrerat på seriens sista sikt, eftersom det inte finns några data efter denna punkt. Av detta skäl kan symmetriska filter inte användas i båda ändar av en serie. Detta är känt som slutpunktsproblemet. Tidsserieanalytiker kan använda asymmetriska filter för att skapa jämnaste uppskattningar i dessa regioner. I detta fall beräknas det jämnda värdet 8216off center8217, med medelvärdet bestämt med användning av mer data från en sida av punkten än den andra enligt vad som är tillgängligt. Alternativt kan modelleringstekniker användas för att extrapolera tidsserierna och sedan applicera symmetriska filter till den utökade serien. HUR BESLUTAR vi VILKAR FILTER ANVÄNDAR Tidsseriens analytiker väljer ett lämpligt filter baserat på dess egenskaper, till exempel vilka cykler filteret tar bort vid applicering. Egenskaperna hos ett filter kan undersökas med hjälp av en förstärkningsfunktion. Gain-funktioner används för att undersöka effekten av ett filter vid en given frekvens på amplituden för en cykel för en viss tidsserie. För mer information om matematik som är associerad med förstärkningsfunktioner, kan du ladda ner Time Series Course Notes, en introduktion till tidsserieanalys som publiceras av ABS-sektionens tidsserieanalyssektion (se avsnitt 4.4). Följande diagram är förstärkningsfunktionen för det symmetriska 3-terminsfilter som vi studerade tidigare. Figur 1: Gain-funktion för symmetrisk 3-terminsfilter Den horisontella axeln representerar längden på en ingångscykel i förhållande till perioden mellan observationspunkterna i de ursprungliga tidsserierna. Så en ingående cykel med längd 2 är klar i 2 perioder, vilket representerar 2 månader för en månadserie och 2 kvartaler för kvartalsserier. Den vertikala axeln visar amplituden för utgångscykeln relativt en ingångscykel. Detta filter minskar styrkan på 3 periodcykler till noll. Det innebär att det helt tar bort cykler av ungefär denna längd. Det betyder att för en tidsserie där data samlas in månadsvis elimineras eventuella säsongseffekter som uppträder kvartalsvis genom att använda detta filter till originalserien. En fasskift är tidsskiftet mellan den filtrerade cykeln och den ofiltrerade cykeln. En positiv fasförskjutning innebär att den filtrerade cykeln förskjuts bakåt och en negativ fasskiftning förskjuts framåt i tiden. Fasförskjutning sker när tidpunkten för vridpunkterna förvrängs, till exempel när det glidande medlet placeras utanför mitten av de asymmetriska filteren. Det vill säga att de kommer att inträffa antingen tidigare eller senare i den filtrerade serien än i originalet. Olika längdsymmetriska glidmedel (som används av ABS), där resultatet är centralt placerat, orsakar inte fasfasförskjutning. Det är viktigt för filter som används för att härleda trenden för att behålla tidsfasen, och därmed tidpunkten för alla vändpunkter. Figurerna 2 och 3 visar effekterna av att applicera ett 2x12 symmetriskt rörligt medelvärde som är utanför mitten. De kontinuerliga kurvorna representerar initialcyklerna och de brutna kurvorna representerar utgångscyklerna efter applicering av det glidande medelfiltret. Figur 2: 24 månaders cykel, fas -5,5 månaders amplitud 63 Figur 3: 8 månaders cykel, fas -1,5 månaders amplitud 22 VAD ÄR HENDERSON FLYTTNING AVERAGES Henderson moving average är filter som härleddes av Robert Henderson år 1916 för användning i aktuariella applikationer. De är trendfilter, som ofta används i tidsserieanalys för att släta säsongsrensade uppskattningar för att skapa en trendberäkning. De används i stället för enklare glidande medelvärden eftersom de kan reproducera polynomier upp till grad 3 och därigenom fånga trendvändpunkter. ABS använder Henderson glidande medelvärden för att producera trendberäkningar från en säsongrensad serie. Trenden uppskattningar publicerade av ABS är vanligtvis härledda med hjälp av ett 13 term Henderson filter för månadsserier, och ett 7 term Henderson filter för kvartalsserier. Henderson-filter kan vara antingen symmetriska eller asymmetriska. Symmetriska rörliga medelvärden kan appliceras vid punkter som är tillräckligt långt ifrån en tidsseriers ändar. I detta fall beräknas det jämnvärda värdet för en given punkt i tidsserierna från lika många värden på vardera sidan av datapunkten. För att få vikterna träffas en kompromiss mellan de två egenskaper som vanligtvis förväntas av en trendserie. Dessa är att trenden ska kunna representera ett brett spektrum av krökningar och att det också ska vara så smidigt som möjligt. För den matematiska avvikelsen av vikterna, se avsnitt 5.3 i tidsseriekursanvisningarna. som kan laddas ner gratis från ABS-webbplatsen. Vägningsmönstren för ett antal symmetriska Henderson-glidande medelvärden ges i följande tabell: Symmetrisk viktningsmönster för Henderson Moving Average Generellt desto längre trendfiltret är desto slätare blir den resulterande trenden, vilket framgår av en jämförelse av förstärkningsfunktionerna ovan. En 5-term Henderson minskar cykler på cirka 2,4 perioder eller mindre med minst 80, medan en 23-term Henderson minskar cykler på ca 8 perioder eller mindre med minst 90. Faktum är att ett 23-term Henderson-filter helt tar bort cykler på mindre än 4 perioder . Henderson glidande medelvärden dämpar också säsongscyklerna i varierande grad. Vinstfunktionerna i figurerna 4-8 visar dock att årliga cykler i månads - och kvartalsserier inte dämpas tillräckligt signifikant för att motivera tillämpning av ett Henderson-filter direkt på ursprungliga uppskattningar. Därför tillämpas de bara på en säsongsrensad serie, där de kalenderrelaterade effekterna redan har tagits bort med specifikt utformade filter. Figur 9 visar utjämningseffekterna av att applicera ett Henderson-filter i en serie: Figur 9: 23-Term Henderson Filter - Värde av byggnadsgodkännanden för bostäder HUR VI ANVÄNDER END-PROBLEMET Det symmetriska Henderson-filtret kan endast appliceras på regioner av data som är tillräckligt långt ifrån seriens ändar. Till exempel kan standard 13 termen Henderson endast tillämpas på månadsdata som är minst 6 iakttagelser från början eller slutet av data. Detta beror på att filtret släpper serien genom att ta ett vägt genomsnitt av de 6 termerna på vardera sidan av datapunkten samt punkten själv. Om vi försöker att tillämpa den till en punkt som är mindre än 6 observationer från slutet av data, finns det inte tillräckligt med data tillgängliga på ena sidan av punkten för att beräkna medelvärdet. För att ge trenduppskattningar av dessa datapunkter används ett modifierat eller asymmetrisk glidande medelvärde. Beräkning av asymmetriska Henderson-filter kan genereras med ett antal olika metoder som ger liknande, men inte identiska resultat. De fyra huvudmetoderna är Musgrave-metoden, Minimering av medelstorleksrevisionsmetoden, den bästa linjära oskattliga estimaten (BLUE) - metoden och Kenny - och Durbin-metoden. Shiskin et. al (1967) härledde de ursprungliga asymmetriska vikterna för Henderson glidande medelvärdet som används inom X11-paketen. För information om avledning av de asymmetriska vikterna, se avsnitt 5.3 i tidsseriekursanteckningarna. Tänk på en tidsserie där den senast observerade datapunkten inträffar vid tidpunkt N. Då kan ett 13-symmetriskt Henderson-filter inte appliceras på datapunkter som mäts när som helst efter och inklusive tiden N-5. För alla dessa punkter måste en asymmetrisk uppsättning vikter användas. Följande tabell ger det asymmetriska vägningsmönstret för ett standard 13-tal Henderson glidande medelvärde. De asymmetriska 13 termen Henderson-filteren tar inte bort eller dämpar samma cykler som det symmetriska 13-termen Henderson-filtret. I själva verket förstärker det asymmetriska vägningsmönstret som används för att uppskatta trenden vid den sista observationen styrkan i 12 periodcykler. Också asymmetriska filter ger en viss tidsfasskiftning. VAD ÄR SÄRSKILDA RÖRANDE AVERAGE Nästan alla data som ABS har undersökt har säsongsegenskaper. Eftersom Henderson-glidande medelvärden använts för att uppskatta trendserien inte eliminera säsongsalder, måste data säsongrensas först med säsongsfilter. Ett säsongsfilter har vikter som appliceras under samma period över tiden. Ett exempel på viktningsmönstret för ett säsongsfilter skulle vara: (13, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, O, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13) där exempelvis en vikt av en tredjedel tillämpas på tre på varandra följande januari. Inom X11 finns en rad säsongsfilter att välja mellan. Dessa är ett vägt 3-sikt glidande medelvärde (ma) S 3x1. viktad 5-sikt ma S 3x3. viktad 7-sikt ma S 3x5. och en vägd 11-sikt ma S 3x9. Vägningsstrukturen för viktade glidmedel i formen, S nxm. är det ett enkelt medelvärde av m-beräknade, och sedan bestäms ett glidande medelvärde av n av dessa medelvärden. Detta betyder att nm-1 termer används för att beräkna varje slutligt jämnt värde. Till exempel, för att beräkna en 11-sikt S 3x9. en vikt på 19 tillämpas under samma period i 9 på varandra följande år. Därefter appliceras ett enkelt 3-sikt glidande medelvärde över de genomsnittliga värdena: Detta ger ett slutligt viktningsmönster av (127, 227, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 227, 127). Förstärkningsfunktionen för ett 11-årigt säsongsfilter, S 3x9. ser ut som: Figur 10: Gain-funktion för 11-sikt (S 3x9) Säsongsfilter Användning av ett säsongsfilter till data kommer att generera en uppskattning av säsongskomponenten i tidsserierna, eftersom den bevarar styrkan på säsongsövertoner och dämpar cykler av icke - säsongslängder. Asymmetriska säsongsfilter används i slutet av serien. De asymmetriska vikterna för varje av de säsongsfilter som används i X11 finns i avsnitt 5.4 i tidsseriekursanteckningarna. VARFÖR ÄR TRENDSÄTTNINGAR REVISEDET I den nuvarande slutet av en tidsserie är det inte möjligt att använda symmetriska filter för att uppskatta trenden på grund av slutpunktsproblemet. Istället används asymmetriska filter för att skapa preliminära trendberäkningar. Men eftersom fler data blir tillgängliga är det möjligt att räkna om trenden med symmetriska filter och förbättra de initiala uppskattningarna. Detta är känt som en trendrevision. Hur många data krävs för att få ACCEPTABLE SEASONALLY ADJUSTED Estimates Om en tidsserie uppvisar relativt stabil säsonglighet och inte domineras av den oregelbundna komponenten kan 5 års data anses vara en acceptabel längd för att härleda säsongrensade uppskattningar från. För en serie som visar särskilt stark och stabil säsonglighet kan en grovjustering göras med 3 års data. Det är i allmänhet att föredra att ha minst 7 års data för en normal tidsserie för att exakt identifiera säsongsmönster, handelsdag och flytta semestereffekter, trend och säsongsbrott samt avvikelser. AVANCERAT HUR VERKLAR DE TILL SEASONELLA JUSTERINGSFILOSOPIERNA Med modellbaserade tillvägagångssätt möjliggörs de stokastiska egenskaperna (slumpmässiga) i serien under analys, i den meningen att de skräddarsy filtervikterna baserat på seriens natur. Modellen8217s förmåga att korrekt beskriva seriens beteende kan utvärderas och statistiska inferenser för uppskattningarna är tillgängliga utgående från antagandet att den oregelbundna komponenten är vitt brus. Filterbaserade metoder är mindre beroende av tidsseriens stokastiska egenskaper. Det är tidsserien analytist8217s ansvar att välja det lämpligaste filtret från en begränsad samling för en viss serie. Det är inte möjligt att genomföra noggranna kontroller om den implicita modellen är tillräcklig och exakta precisionsåtgärder och statistiska inferens är inte tillgängliga. Därför kan ett konfidensintervall inte byggas kring beräkningen. Följande diagram jämnar närvaron av var och en av modellkomponenterna vid säsongsfrekvenserna för de två säsongsjusteringsfilosofierna. X-axeln är periodens längd och y-axeln representerar styrkan i cyklerna som innefattar varje komponent: Figur 11: Jämförelse av de två säsongsjusteringsfilosofierna Filterbaserade metoder antar att varje komponent endast existerar en viss cykellängd. De längre cyklerna utgör trenden, säsongskomponenten är närvarande vid säsongsfrekvenser och den oregelbundna komponenten definieras som cykler av någon annan längd. Under en modellbaserad filosofi är trenden, säsongsbetonad och oregelbunden komponent närvarande i alla cykellängder. Den oregelbundna komponenten har konstant styrka, den säsongsmässiga komponenten toppar vid säsongsfrekvenser och trendkomponenten är starkast under de längre cyklerna. Den här sidan publicerades första gången den 14 november 2005, senast uppdaterad den 25 juli 2008Moving Average Detta exempel lär dig hur man beräknar det glidande genomsnittet av en tidsserie i Excel. Ett glidande medel används för att jämna ut oegentligheter (toppar och dalar) för att enkelt kunna känna igen trender. 1. Låt oss först titta på våra tidsserier. 2. Klicka på Dataanalys på fliken Data. Obs! Det går inte att hitta knappen Data Analysis Klicka här för att ladda verktyget Analysis ToolPak. 3. Välj Flytta medelvärde och klicka på OK. 4. Klicka i rutan Inmatningsområde och välj intervallet B2: M2. 5. Klicka i rutan Intervall och skriv 6. 6. Klicka i rutan Utmatningsområde och välj cell B3. 8. Skriv en graf över dessa värden. Förklaring: Eftersom vi ställer intervallet till 6 är det rörliga genomsnittet genomsnittet för de föregående 5 datapunkterna och den aktuella datapunkten. Som ett resultat utjämnas toppar och dalar. Diagrammet visar en ökande trend. Excel kan inte beräkna det rörliga genomsnittet för de första 5 datapunkterna eftersom det inte finns tillräckligt med tidigare datapunkter. 9. Upprepa steg 2 till 8 för intervall 2 och intervall 4. Slutsats: Ju större intervall desto mer topparna och dalarna utjämnas. Ju mindre intervallet desto närmare glidmedel är de faktiska datapunkterna.
No comments:
Post a Comment